Question

如图，点P为斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱BB₁上一点，PM⊥BB₁交AA₁于点M，PN⊥BB₁交CC₁于点N.

(1)求证：CC₁⊥MN;

(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE²=DF²+EF²-2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.

Answer 1

思路分析：考虑到三个侧面的面积需要作出三个侧面的高，由已知条件可得△PMN为三棱柱的直截面，选取三棱柱的直截面三角形作类比对象.

(1)证明：∵PM⊥BB₁,PN⊥BB₁,

∴BB₁⊥平面PMN.

∴BB₁⊥MN.

又CC₁∥BB₁，∴CC₁⊥MN.

(2)解析：在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有

cosα.

其中α为平面CC₁B₁B与平面CC₁A₁A所成的二面角.

∵CC₁⊥平面PMN,

∴上述的二面角的平面角为∠MNP.

在△PMN中.PM²=PN²+MN²-2PN·MNcos∠MNP

PM²·CC₁²=PN²·CC₁²+MN²·CC₁²-2(PN·CC₁)·(MN·CC₁)cos∠MNP，

由于=PN·CC₁，=MN·CC₁，=PM·BB₁=PM·CC₁，

∴有²=²+²-2··cosα.