Question

（文科　本题满分14分）

已知函数．

（Ⅰ）求证：函数在区间上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应的近似值（误差不超过）；（参考数据，，）

（Ⅱ）当时，若关于的不等式恒成立，试求实数的取值范围.

Answer 1

解：（Ⅰ），    ………………………………………………………1分

∵  ，，

∴  ．   ……………………………………………………………3分

令 ，则，     ……………………4分

∴  在区间上单调递增，

∴  在区间上存在唯一零点，

∴  在区间上存在唯一的极小值点．   …………………………………6分

取区间作为起始区间，用二分法逐次计算如下：

，而，∴  极值点所在区间是；

又，∴  极值点所在区间是；

∵  ，∴  区间内任意一点即为所求．   ……9分

（Ⅱ）由，得，

∵ ， ∴ ，　　　…………………………………………10分

令 ，则，  ………………………12分

∵ ， ∴ ，  ∴ 在上单调递增，

∴，

∴的取值范围是．　　……………………………………………………14分