Question

两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”比如16＝5²－3²，16就是一个“智慧数”．在自然数列中从1开始数起，试问第1990个“智慧数”是哪个数？并请你说明理由．

Answer 1

解析：显然1不是“智慧数”，而大于1的奇数2k＋1＝(k＋1)²－k²，都是“智慧数”．

4k＝(k＋1)²－(k－1)²

可见大于4且能被4整除的数都是“智慧数”而4不是“智慧数”，由于x²－y²＝(x＋y)(x－y)(其中x、y∈N)，当x，y奇偶性相同时，(x＋y)(x－y)被4整除．当x，y奇偶性相异时，(x＋y)(x－y)为奇数，所以形如4k＋2的数不是“智慧数”

在自然数列中前四个自然数中只有3是“智慧数”．此后每连续四个数中有三个“智慧数”．

由于1989＝3×663，所以2656＝4×664是第1990个“智慧数”．