Question

（2012•浦东新区二模）已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．
（1）已知函数f（x）=-x²+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；
（2）已知 T=1，y=f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2^x，求实数m的取值范围；
（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．
（Ⅰ）已知当x∈[0，4]时，函数f（x）=x²-4x，若f（x）是[0，+∞）上周期为4的m级类周期函数，且y=f（x）的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k，使函数f（x）=coskx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k和T的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可求得a＜x-1-

2

x-1

，令x-1=t（t≥2），由g（t）=t-

2

t

在[2，+∞）上单调递增，即可求得实数a的取值范围；
（2）由x∈[0，1）时，f（x）=2^x，可求得当x∈[1，2）时，f（x）=mf（x-1）=m•2^x-1，…当x∈[n，n+1）时，f（x）=mⁿ•2^x-n，利用f（x）在[0，+∞）上单调递增，可得
m＞0且mⁿ•2^n-n≥m^n-1•2^n-（n-1），从而可求实数m的取值范围；
（3）（Ⅰ）当x∈[0，4]时，y∈[-4，0]，且有f（x+4）=mf（x），于是可求当x∈[4n，4n+4]，n∈Z时，f（x）=mⁿ[（x-4n）²-4（x-4n）]，对m分当0＜m≤1时，-1＜m＜0，m=-1，m＞1与m＜-1时的讨论，即可得答案；
（Ⅱ）f（x+T）=Tf（x）对一切实数x恒成立，即cosk（x+T）=Tcoskx对一切实数恒成立，分当k=0时，T=1；当k≠0时，要使cosk（x+T）=Tcoskx恒成立，只有T=±1，于是可得答案．

解答：解：（1）由题意可知：f（x+1）＞2f（x），即-（x+1）²+a（x+1）＞2（-x²+ax）对一切[3，+∞）恒成立，
整理得：（x-1）a＜x²-2x-1，
∵x≥3，
∴a＜

x2-2x-1

x-1

=

(x-1)2-2

x-1

=x-1-

2

x-1

，
令x-1=t，则t∈[2，+∞），g（t）=t-

2

t

在[2，+∞）上单调递增，
∴g（t）_min=g（2）=1，
∴a＜1．
（2）∵x∈[0，1）时，f（x）=2^x，
∴当x∈[1，2）时，f（x）=mf（x-1）=m•2^x-1，…
当x∈[n，n+1）时，f（x）=mf（x-1）=m²f（x-2）=…=mⁿf（x-n）=mⁿ•2^x-n，
即x∈[n，n+1）时，f（x）=mⁿ•2^x-n，n∈N^*，
∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴m＞0且mⁿ•2^n-n≥m^n-1•2^n-（n-1），
即m≥2．
（3）问题（Ⅰ）∵当x∈[0，4]时，y∈[-4，0]，且有f（x+4）=mf（x），
∴当x∈[4n，4n+4]，n∈Z时，f（x）=mf（x-4）=…=mⁿf（x-4n）=mⁿ[（x-4n）²-4（x-4n）]，
当0＜m≤1时，f（x）∈[-4，0]；
当-1＜m＜0时，f（x）∈[-4，-4m]；
当m=-1时，f（x）∈[-4，4]；
当m＞1时，f（x）∈（-∞，0]；
当m＜-1时，f（x）∈（-∞，+∞）；
综上可知：-1≤m＜0或0＜m≤1．
问题（Ⅱ）：由已知，有f（x+T）=Tf（x）对一切实数x恒成立，
即cosk（x+T）=Tcoskx对一切实数恒成立，
当k=0时，T=1；
当k≠0时，
∵x∈R，
∴kx∈R，kx+kT∈R，于是coskx∈[-1，1]，
又∵cos（kx+kT）∈[-1，1]，
故要使cosk（x+T）=Tcoskx恒成立，只有T=±1，
当T=1时，cos（kx+k）=coskx得到 k=2nπ，n∈Z且n≠0；
当T=-1时，cos（kx-k）=-coskx得到-k=2nπ+π，
即k=（2n+1）π，n∈Z；
综上可知：当T=1时，k=2nπ，n∈Z；
当T=-1时，k=（2n+1）π，n∈Z．

点评：本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题，综合考察构造函数、分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题．