Question

如右图（1）所示，定义在区间上的函数，如果满     

足：对，常数A，都有成立，则称函数  

在区间上有下界，其中称为函数的下界. （提示：图(1)、（2）中的常数、可以是正数，也可以是负数或零）

（Ⅰ）试判断函数在上是否有下界？并说明理由；

（Ⅱ）又如具有右图（2）特征的函数称为在区间上有上界.

请你类比函数有下界的定义，给出函数在区间上

有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在上是否

有上界？并说明理由；                   

（Ⅲ）若函数在区间上既有上界又有下界，则称函数

在区间上有界，函数叫做有界函数．试探究函数 （是常数）是否是（、是常数）上的有界函数？

Answer 1

(Ⅰ)   A=32   (Ⅱ) 存在常数B=－32（III）上的有界函数

解析:

：（I）解法1：∵，由得，

       ∵，      ∴，---2分

∵当时，，∴函数在（0，2）上是减函数；

当时，，∴函数在（2，＋）上是增函数；

∴是函数的在区间（0，＋）上的最小值点，

∴对，都有，---4分即在区间（0，＋）上存在常数A=32,使得对都有成立，∴函数在（0，＋）上有下界. ---5分   

[解法2：

当且仅当即时“＝”成立∴对，都有，

即在区间（0，＋）上存在常数A=32,使得对都有成立，

∴函数在（0，＋）上有下界.

（II）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：

定义在D上的函数，如果满足：对，常数B，都有≤B成立，则称函数在D上有上界，其中B称为函数的上界. -----7分

设则，由（1）知，对，都有，

∴，∵函数为奇函数，∴

∴，∴

即存在常数B=－32，对，都有,

∴函数在（－， 0）上有上界. ---------9分

（III）∵，由得，∵

∴    ∵ ，  ∴，----------10分

∵当时，，∴函数在（0，）上是减函数；

当时，，∴函数在（，＋）上是增函数；

∴是函数的在区间（0，＋）上的最小值点， ------11分

①当时，函数在上是增函数；

∴

∵、是常数，∴、都是常数

令,

∴对，常数A,B,都有

即函数在上既有上界又有下界--------12分

②当  时函数在上是减函数

∴对都有∴函数在上有界.-- -13分

③当时，函数在上有最小值

＝

令,令B=、中的最大者则对，常数A,B,都有

∴函数在上有界.综上可知函数是上的有界函数---14分