Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，N分别为A₁B₁，BC之中点．
（1）试求

A1A

AB

，使

A1B

•

B1C

=0．
（2）在（1）条件下，求二面角N-AC₁-M的大小．

Answer 1

分析：（1）以C₁点为坐标原点，C₁A₁所在直线为x轴，C₁C所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设A₁B₁=b，AA₁=a，分别求出

A1B

与

B1C

的坐标，根据

A1B

•

B1C

=0求出a与b的关系，从而求出

A1A

AB

，
（2）在（1）条件下，不妨设b=2，则a=

2

，取AC₁中点为P，根据二面角的平面角的定义可知∠NPM为二面角N-AC₁-M的平面角，分别求出

PM

与

PN

的坐标，计算它们的数量积即可求出此角．

解答：解：（1）以C₁点为坐标原点，C₁A₁所在直线为x轴，C₁C所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设A₁B₁=b，AA₁=a（a，b∈（0，+∞）．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，则A₁，B，B₁，C的坐标分别为：
（b，0，0），(

1

2

b，

3

2

b，a），(

1

2

b，

3

2

b，0），（0，0，a）．

A1B

•

B1C

=0．
∴

A1B

=(-

1

2

b，

3

2

b，a），

B1C

=(-

1

2

b，-

3

2

b，a)?

A1B • B1C =a2- 1 2 b2， 又 A1B • B1C =0.

?b=

2

a?

A1A

AB

=

a

b

=

2

2

．

（2）在（1）条件下，不妨设b=2，则a=

2

，
又A，M，N坐标分别为（b，0，a），（

3

4

b，

3

4

b，0），（

1

4

b，

3

4

b，a）．
∴|AN|=

b

2

3

=

3

，|C1N|=

3

．∴|AN|=|C1N|=

3

同理|AM|=|C₁M|．
∴△AC₁N与△AC₁M均为以AC₁为底边的等腰三角形，
取AC₁中点为P，则NP⊥AC₁，MP⊥AC₁?∠NPM为二面角N-AC₁-M的平面角，
而点P坐标为（1，0，

2

2

），
∴

PN

=(-

1

2

，

3

2

，

2

2

)．同理

PM

=(

1

2

，

3

2

，-

2

2

)．
∴

PM

•

PN

=-

1

4

+

3

4

-

1

2

=0?

PM

⊥

PN

．
∴∠NPM=90°?二面角N-AC₁-M的大小等于90°．

点评：本题主要考查了二面角及其度量，以及空间向量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．