Question

若函数f（x）=sin²ax-sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m（m为实常数）相切，并且从左到右切点的横坐标依次成公差为

π

2

的等差数列，
（Ⅰ）求m和a的值；
（Ⅱ）若点A（x₀，y₀）是y=f（x）图象的对称中心，且x0∈[0，

π

2

]，求点A的坐标；
（Ⅲ）写出函数y=f（-x）的所有单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化简函数f（x）=sin²ax-sinaxcosax为 y=-

2

2

sin(2ax+

π

4

)+

1

2

，求出它的最值，图象与直线y=m相切，所以最值就是m的值，利用公差与周期的关系即可求a；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=-

2

2

sin(4x+

π

4

)+

1

2

，令sin(4x0+

π

4

)=0，即可求出y=f（x）图象的对称中心的坐标；
（III）根据周期求出a的值后，然后利用三角函数的图象与性质结合整体思想再求函数f（-x）的单调增区间．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1-cos2ax

2

-

1

2

sin2ax=

1

2

-

2

2

sin(2ax+

π

4

)
由于y=m与y=f（x）的图象相切，则m=

1+ 2

2

或m=

1- 2

2

；
因为切点的横坐标依次成公差为

π

2

等差数列，
所以T=

π

2

∴2a=4
故a=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=-

2

2

sin(4x+

π

4

)+

1

2

．
令sin(4x0+

π

4

)=0，
故4x0+

π

4

=kπ(k∈Z)
∴x0=

kπ

4

-

π

16

(k∈Z)，由0≤

kπ

4

-

π

16

≤

π

2

(k∈Z)，得k=1或k=2，
∴A(

3π

16

，

1

2

)或(

7

16

π，

1

2

)．；
（Ⅲ）y=f（-x）=

2

2

sin(4x-

π

4

)+

1

2

．
由2kπ-

π

2

≤4x-

π

4

≤2kπ+

π

2

得

kπ

2

-

π

16

≤x≤

kπ

2

+

3π

16

(k∈Z)
所以函数y=f（-x）的单调递增区间为[

kπ

2

-

π

16

，

kπ

2

+

3π

16

](k∈Z)．

点评：本题考查正弦函数的单调性，等差数列的性质，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值，是中档题．