Question

定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的奇函数, 且当x∈(0, 1)时,

f(x)= .

(Ⅰ)求f(x)在[-1, 1]上的解析式;    (Ⅱ)证明f(x)在(0, 1)上时减函数; 

(Ⅲ)当λ取何值时, 方程f(x)=λ在[-1, 1]上有解?

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)=.；（2）见解析；

（3）λ∈(-, -)∪｛0｝∪(, )时方程f(x)=λ在[-1, 1]上有解.

 

【解析】主要考查函数奇偶性、单调性、周期性、指数运算与指数函数的图象和性质。

解：(Ⅰ)解:当x∈(-1, 0)时, - x∈(0, 1). ∵当x∈(0, 1)时, f(x)= .

∴f(-x)=. 又f(x)是奇函数, ∴f (-x)= - f (x)= .∴f(x)= -.

 ∵f(-0)= -f(0),  ∴f(0)= 0. 又f(x)是最小正周期为2的函数, ∴对任意的x有f(x+2)= f(x).

∴f(-1)= f(-1+2)= f(1). 另一面f(-1)=- f(1), ∴- f(1)= f(1) . ∴f(1) = f(-1)=0.  ∴f(x)在[-1, 1]上的解析式为

 f(x)=.   

(Ⅱ) 对任意的0<x₁<x₂<1,f(x₁)-f(x₂)=-=== >0,因此f(x)在(0, 1)上时减函数; 

 (Ⅲ)在[-1, 1]上使方程f(x)=λ有解的λ的取值范围就是函数f(x)在[-1, 1]上的值域. 当x∈(-1, 0)时, 2<2^x+<, 即2<<. ∴< f(x)= <. 又f(x)是奇函数, ∴f(x)在(-1, 0)上也是减函数, ∴当x∈(-1, 0)时有-< f(x)= -< -. ∴f(x)在[-1, 1]上的值域是(-, -)∪｛0｝∪(, ). 故当

λ∈(-, -)∪｛0｝∪(, )时方程f(x)=λ在[-1, 1]上有解.