Question

已知函数，

（I）当t＝1时，求曲线处的切线方程；

（II）当t≠0时，求的单调区间；

（Ⅲ）证明：对任意的在区间（0，1）内均存在零点。

Answer 1

解:（1）当t＝1时，

      

（2）

       因为t≠0，以下分两种情况讨论：

       ①若的变化情况如下表：

x			（－t，∞）
	＋	－	＋

所以，的单调递增区间是，（－t，∞）；的单调递减区间是。

       ②若的变化情况如下表：

       所以，的单调递增区间是（－∞，t），；的单调递减区间是。

       综上可得：当t<0时，的单调递增区间是，（－t，∞）；的单调递减区间是

       当t>0时, 的单调递增区间是（－∞，t），；的单调递减区间是。

（3）由（2）可知，当t＞0时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：

①当在（0，1）内单调递减，

所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。

②当时，在内的单调递减，在内单调递增，