Question

7．求函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（2+a）x+2alnx的单调区间．

Answer 1

分析 先求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（2+a）x+2alnx，函数的定义域是（0，+∞），
∴f′（x）=x-（2+a）+$\frac{2a}{x}$=$\frac{（x-2）（x-a）}{x}$，
①a≤0时：令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；
②0＜a＜2时，令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜a，令f′（x）＜0，解得：a＜x＜2，
∴f（x）在（a，2）递减，在（0，a），（2，+∞）递增；
③a=2时：f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增；
④a＞2时：令f′（x）＞0，解得：x＞a或x＜2，令f′（x）＜0，解得：2＜x＜a，
∴f（x）在（2，a）递减，在（0，2），（a，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．