Question

如图1，△ABC的三边长分别为AC=6、AB=8、BC=10，O′为其内心；取O′A、O′B、O′C的中点A′、B′、C′，并按虚线剪拼成一个直三棱柱ABC-A′B′C′（如图2），上下底面的内心分别为O′与O；
（Ⅰ）求直三棱柱ABC-A′B′C′的体积；
（Ⅱ）直三棱柱ABC-A′B′C′中，设线段OO'与平面AB′C交于点P，求二面角B-AP-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根据△ABC的三边的平方关系，得△ABC为直角三角形，算出其内切圆半径r=2，从而得到直三棱柱ABC-A′B′C′的底面三角形的形状和高AA'的长，结合柱体体积公式即可算出直三棱柱ABC-A′B′C′的体积；
（II）以A为原点，AB、AC、AA'为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，可得向量

AB′

、

AP

坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出

m

=(1，0，-4)是平面AB'C的一个法向量；同样的方法算出

n

=(0，1，-4)是平面ABP的一个法向量，利用空间向量的夹角公式算出cos＜

m

，

n

＞=

16

17

，结合图形加以观察即可得到二面角B-AP-C的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）根据题意，可得△ABC为直角三角形，
∵△ABC的内切圆半径r=

6+8-10

2

=2，-----（1分）
∴直三棱柱ABC-A'B'C'的高等于

1

2

r=1，-----------------------------（2分）
∵△A'B'C'是两条直角边分别为3、4的直角三角形，
∴直三棱柱ABC-A′B′C′的体积V=(

1

2

×3×4)×1=6；-----------（5分）
（Ⅱ）如图，以A为原点，AB、AC、AA'为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则

AB′

=(4，0，1)，

AC

=(0，3，0)，
设平面AB'C的法向量

m

=(x，y，z)，
则

AB′ • m =4x+z=0 AC • m =3y=0

，取x=1，得y=0，z=-4，所以

m

=(1，0，-4)--------------------（7分）
再设

AP

=(1，1，z0)，由

AP

•

m

=0算出z0=

1

4

，可得

AP

=(1，1，

1

4

)；-------------（10分）
而

AB

=(4，0，0)，设平面ABP的法向量

n

=(x′，y′，z′)，
则

AB′ • n =4x′=0 AP • n =x′+y′+ 1 4 z′=0

，取y'=1，可得

n

=(0，1，-4)；-------------------------------（12分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

1×0+0×1+(-4)×(-4)

17 × 17

=

16

17

，
再根据图形，得二面角B-AP-C为钝角，即二面角B-AP-C的平面角与＜

m

，

n

＞互为补角
因此，二面角B-AP-C的余弦值等于-

16

17

．------------------------------------（14分）

点评：本题给出直角三角形的折叠问题，求折成的三棱柱的体积并求二面角的余弦值，着重考查了直角三角形内切圆的性质、柱体体积的求法和利用空间向量求二面角大小等知识，属于中档题．