已知l1.l2.l3是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线．(Ⅰ)如果l1与l2间的距离是1.l2与l3间的距离是1.可以把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l1.l2.l3上.求这个正三角形ABC的边长,(Ⅱ)如图.如果l1与l2间的距离是1.l2与l3间的距离是2.能否把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l1.l2.l3上.如果能放.求BC和l3夹角的正切值并求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知l₁，l₂，l₃是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线．
（Ⅰ）如果l₁与l₂间的距离是1，l₂与l₃间的距离是1，可以把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l₁，l₂，l₃上，求这个正三角形ABC的边长；
（Ⅱ）如图，如果l₁与l₂间的距离是1，l₂与l₃间的距离是2，能否把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l₁，l₂，l₃上，如果能放，求BC和l₃夹角的正切值并求该正三角形边长；如果不能，说明为什么？
（Ⅲ）如果边长为2的正三角形ABC的三顶点分别在l₁，l₂，l₃上，设l₁与l₂的距离为d₁，l₂与l₃的距离为d₂，求d₁•d₂的范围？

分析：（Ⅰ）根据A、C到直线l₂的距离相等，可得l₂过AC的中点M，l₂⊥AC，从而求得边长AC=2AM 的值．
（Ⅱ）假设能放，设边长为aBC与l₃的夹角为θ，不妨设0°＜θ≤60°，可得asinθ=2，asin（60°-θ）=1．
两式相比化简可得sinθ=

，由此求得边长a的值，从而得出结论．
（Ⅲ）利用两角和差的正弦、余弦公式化简d₁•d₂=4sin（60°-θ） sinθ 为 2sin（2θ+30°）-1，再根据正弦函数的定义域和值域求得d₁•d₂的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵A、C到直线l₂的距离相等，∴l₂过AC的中点M，∴l₂⊥AC，∴边长AC=2AM=2．
（Ⅱ）假设能，设边长为a，BC与l₃的夹角为θ，由对称性，不妨设0°＜θ≤60°，
∴asinθ=2，asin（60°-θ）=1．
两式相比得：sinθ=2sin（60°-θ），即 sinθ=

cosθ-sinθ，
∴2sinθ=

cosθ，∴tanθ=

，∴sinθ=

，故边长a=

．综上可得，能放．
（Ⅲ）d₁•d₂=4sin（60°-θ）sinθ=4（

cosθ-

sinθ） sinθ
=2（

sin2θ-

1+cos2θ

）=2sin（2θ+30°）-1．
∵0°＜θ≤60°，∴30°＜2θ+30°≤150°，

＜2sin（2θ+30°）≤1，∴d₁•d₂∈（0，1]，
即d₁•d₂的范围是（0，1]．

点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，

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