Question

已知圆C经过两点，且在轴上截得的线段长为，半径小于5.（1）求直线与圆C的方程；（2）若直线，直线与圆C交于点A、B，且以AB为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程.

 

Answer 1

（1）直线PQ：，圆C方程：

（2）直线或.

【解析】

试题分析：（1）根据直线方程的点斜式求解所求的直线方程是解决本题的关键，根据待定系数法设出圆心坐标和半径，寻找未知数之间的关系是求圆的方程的关键，注意弦长问题的处理方法；

（2）利用直线的平行关系设出直线的方程，利用设而不求的思想得到关于所求直线方程中未知数的方程，通过方程思想确定出所求的方程，注意对所求的结果进行验证和取舍．

试题解析：（1）直线PQ的方程为即直线PQ的方程为x+y-2=0，

C在PQ的中垂线即y=x-1上，

设C（n，n-1），则r2=|CQ|2=（n+1）2+（n-4）2，

由题意，有 ∴n2+12=2n2-6n+17，

∴n=1或5（舍去），r2=13或37（舍去），

∴圆C的方程为．

（2）设直线l的方程为x+y+m=0，由,消去y得2x2+（2m-2）x+m2-12=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1-m，x1x2=

又∵以AB为直径的圆经过坐标原点∠AOB=90°，∴x1x2+y1y2=0

∴，将韦达定理的结果代入并整理化间得m2+m-12=0，

∴m=3或-4（均满足△＞0），

∴l的方程为x+y+3=0或x+y-4=0．

考点：1.直线方程；2．圆的方程；３．直线与圆的位置关系．