Question

若

a

=(x2+1，p+2)，

b

=(3，x)，f(x)=

a

•

b

，f(x)在区间[-

1

2

，+∞)上是增函数，则方程f(x)+

x

-p=0有且只有一解时p的取值范围是

p≥3

．

Answer 1

分析：由题意可得：f(x)=

a

•

b

=3x²+（p+2）x+3，结合题中条件可得：f（x）在[0，+∞）单调递增，原方程等价于方程f(x)=p-

x

在[0，+∞）上只有一解，由f（x）≥3，所以p-

x

≥3在[0，+∞）上有解，进而求出p的数值．

解答：解：∵

a

=(x2+1，p+2)，

b

=(3，x)，
∴f(x)=

a

•

b

=3x²+（p+2）x+3，并且其对称轴为：x=-

p+2

6

，
∵f（x）在区间[-

1

2

，+∞)上是增函数，
∴f（x）在[0，+∞）单调递增，
∵方程f(x)+

x

-p=0有且只有一解
∴方程f(x)=p-

x

在[0，+∞）上只有一解，
∵f（x）≥3，
∴p-

x

≥3在[0，+∞）上有解，
∴p≥3．
故答案为：p≥3．

点评：本题主要考查二次函数的性质与幂函数的值域问题，以及考查方程的有解的知识点，此题综合性较强属于中档题，考查学生的分析问题解决问题的能力．