Question

如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．

Answer 1

【答案】分析：（1）由PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC，根据直线和平面垂直
的判定定理可得结论．
（2）连接OG并延长交AC于点M，则由重心的性质可得M为AC的中点．利用三角形的中位线性质，证明OM∥BC，
QM∥PC，可得平面OQM∥平面PBC，从而证明QG∥平面PBC．
解答：解：（1）AB是圆O的直径，PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，
C是圆O上的点，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC．
再由AC∩PA=A，利用直线和平面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC．
（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，连接OG并延长交AC于点M，则由重心的性质可得M为AC的中点．
故OM是△ABC的中位线，QM是△PAC的中位线，故有OM∥BC，QM∥PC．
而OM和QM是平面OQM内的两条相交直线，AC和BC是平面PBC内的两条相交直线，故平面OQM∥平面PBC．
又QG?平面OQM，∴QG∥平面PBC．
点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、直线和平面平行的判定定理的应用，属于中档题．