【题目】设函数 ,若曲线 上存在(x0 , y0),使得f(f(y0))=y0成立,则实数m的取值范围为( )
A.[0,e2﹣e+1]
B.[0,e2+e﹣1]
C.[0,e2+e+1]
D.[0,e2﹣e﹣1]
【答案】D
【解析】解:∵﹣1≤cosx≤1,∴ 的最大值为e,最小值为1,∴1≤y0≤e,
显然f(x)= 是增函数,
(i)若f(y0)>y0,则f(f(y0))>f(y0)>y0,与f(f(y0))=y0矛盾;
(ii)若f(y0)<y0,则f(f(y0))<f(y0)<y0,与f(f(y0))=y0矛盾;
∴f(y0)=y0,
∴y0为方程f(x)=x的解,即方程f(x)=x在[1,e]上有解,
由f(x)=x得m=x2﹣x﹣lnx,
令g(x)=x2﹣x﹣lnx,x∈[1,e],
则g′(x)=2x﹣1﹣ = = ,
∴当x∈[1,e]时,g′(x)≥0,
∴g(x)在[1,e]上单调递增,
∴gmin(x)=g(1)=0,gmax(x)=g(e)=e2﹣e﹣1,
∴0≤m≤e2﹣e﹣1.
故选D.
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【题目】在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知sinB+sinC=msinA(m∈R),且a2﹣4bc=0.
(1)当a=2, 时,求b、c的值;
(2)若角A为锐角,求m的取值范围.
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【题目】已知椭圆 内有一点M(2,1),过M的两条直线l1 , l2分别与椭圆E交于A,C和B,D两点,且满足 (其中λ>0,且λ≠1),若λ变化时,AB的斜率总为 ,则椭圆E的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】[选修4-4:参数方程与极坐标系]
以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程为 ,(t为参数,0<θ<π),曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当θ变化时,求|AB|的最小值.
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【题目】已知椭圆 的右焦点为F,过椭圆C中心的弦PQ长为2,且∠PFQ=90°,△PQF的面积为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点,S为直线 上一动点,直线A1S交椭圆C于点M,直线A2S交椭圆于点N,设S1、S2分别为△A1SA2、△MSN的面积,
求 的最大值.
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【题目】已知命题p:函数f(x)= 的图象的对称中心坐标为(1,1);命题q:若函数g(x)在区间[a,b]上是增函数,则有g(a)(b﹣a)< g(x)dx<g(b)(b﹣a)成立.下列命题为真命题的是( )
A.p∧q
B.¬p∧q
C.p∧¬q
D.¬p∧¬q
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【题目】在直角坐标系中,直线l过定点(﹣1,0),且倾斜角为α(0<α<π),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ=cosθ(ρcosθ+8).
(1)写出l的参数方程和C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,且 ,求α的值.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|+|2x﹣a|(a∈R).
(1)若f(1)<11,求a的取值范围;
(2)若a∈R,f(x)≥x2﹣x﹣3恒成立,求x的取值范围.
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