Question

设数列{a_n}是有穷等差数列，给出下面数表：
a₁　 a₂    a₃     …a_n-1　　a_n 第1行
a₁+a₂  　a₂+a₃  　…a_n-1+a_n 　第2行
…
…
…第n行
上表共有n行，其中第1行的n个数为a₁，a₂，a₃…a_n，从第二行起，每行中的每一个数都等于它肩上两数之和．记表中各行的数的平均数（按自上而下的顺序）分别为b₁，b₂，b₃…b_n．
（1）求证：数列b₁，b₂，b₃…b_n成等比数列；
（2）若a_k=2k-1（k=1，2，…，n），求和

n

k=1

akbk．

Answer 1

分析：（1）由题设易知，b₁=

a1+an

2

，b₂=a₁+a_n，容易得bk=

c1+cn-k+1

2

，b_k+1=c₁+c_n-k+1，于是

bk+1

bk

=2，可证明
（2）由（1）求，bk=b1•2k-1=

a1+a2

2

•2k-1，则a_k=2k-1时，a_kb_k=（2k-1）•2^k-1，利用错位相减可求数列的和

解答：（1）证明：由题设易知，b1=

n(a1+an)

2n

=

a1+an

2

，
b2=

(n-1)(a1+a2+…+ an)

2(n-1)

=

a1+a2+…+an

2

=a1+an．
设表中的第k（1≤k≤n-1）行的数为c₁，c₂…c_n-k+1，显然c₁，c₂…c_n-k+1，成等差数列，则它的第k+1行的数是c₁+c₂，c₂+c₃…c_n-k+c_n-k+1也成等差数列，它们的平均数分别是bk=

c1+cn-k+1

2

，b_k+1=c₁+c_n-k+1，于是

bk+1

bk

=2（1≤k≤n-1，k∈N^*）．
故数列b₁，b₂…b_n是公比为2的等比数列．（7分）
（2）由（1）知，bk=b1•2k-1=

a1+a2

2

•2k-1，
故当a_k=2k-1时，bk=n•2k-1，akbk=n(2k-1)•2k-1．
于是

n

k=1

akbkn

n

k=1

(2k-1)•2k-1． 　　　　　　　　　　　（9分）
设S=

n

k=1

(2k-1)•2k-1，
则S=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1①
2S=1•2+3×2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ②
①-②得，-S=1×2⁰+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，
化简得，S=（2n-1）•2ⁿ-2ⁿ⁺¹+3，
故

n

k=′1

akbk=n（2n-1）•2n-n•2ⁿ⁺¹+3n．（14分）

点评：本题主要考查了等比数列的定义在等比数列的证明中的应用，错位相减求解数列的和，解题的关键需要由已只条件中的信息提炼出相关的递推关系