Question

（本小题满分13分）

如图7所示，在边长为12的正方形中，，且AB=3，BC=4，分别交BB₁，CC₁于点P、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得与AA₁重合，构成如图5所示的三棱柱ABC—A₁B₁C₁，请在图5中解决下列问题：

   （1）求证：；

   （2）在底边AC上有一点M，满足AM：MC=3：4，求证：BM//平面APQ。

   （3）求直线BC与平面APQ所成角的正弦值。

Answer 1

（本小题满分13分）

解：（1）证明：因为，，

       所以，从而，

       即．      2分

       又因为，而，

       所以平面,又平面

       所以；                   

   （2）过作交于,连接,

       因为

          

       ，，

       四边形为平行四边形

       ,所以平面     

   （3）由图1知，,分别以为轴，

       则

                    

       设平面的法向量为，

       所以得，

       令，则，

       所以直线与平面所成角的正弦值为