Question

一种变压器的铁芯的截面为正十字型，如图，为保证所需的磁通量，要求十字型具有4

5

cm²的面积．问该如何设计正十字型的宽x及长y，才能使其外接圆的周长最短？

Answer 1

分析：设外接圆的半径为Rcm，则 R=

1

2

x2+y2

，根据面积求出长，然后表示出外接圆的周长，利用导数研究函数的最小值即可．

解答：解：设外接圆的半径为R cm，则 R=

1

2

x2+y2

．
　　由2xy-x²=4

5

，得 y=

4 5 +x2

2x

．
　　要使外接圆的周长最小，需要R取最小值，也即R²取最小值．
　　设 f（x）=R²=

1

4

[x²+（

4 5 +x2

2x

）²]=

5

16

x²+

5

x2

+

5

2

（0＜x＜2R）
     则 f'（x）=

5

8

x-

10

x3

．令f'（x）=0 解得x=2 或x=-2（舍去）．
　　当0＜x＜2 时f'（x）＜0；当x＞2 时，f'（x）＞0．
　　因此当x=2时，R²最小，即R最小，周长最小为π

10+2 5

cm．

点评：本题通过设间接变量，由题意得到一个函数，再确定它的最小值．间接处理所研究的目标，并用导数研究目标函数的最小值，是解本题的关键所在．