Question

（2012•泰安一模）F₁、F₂为双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦点，A、B分别为双曲线的左、右顶点，以F₁F₂为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且满足∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为

21

3

．

Answer 1

分析：先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点M的坐标，结合∠MAB=30°求出a，b之间的关系，进而求出离心率即可．

解答：解：由题得以F₁F₂为直径的圆的圆心是（0，0），半径为：c；
故圆的标准方程为：x²+y²=c²；
又双曲线的其中一条渐近线方程为：y=

b

a

x
联立

y= b a x x2+y2=c2

可得：

x=a y=b

，即M（a，b）．
故MB垂直于AB；
所以tan∠MAB=

MB

AB

=

b

2a

=tan30°；
即⇒

b

a

=

2 3

3

⇒

c

a

=

c2 a2

=

a2+b2 a2

=

21

3

．
故双曲线的离心率为

21

3

．
故答案为：

21

3

．

点评：本题主要考察双曲线的简单性质．解决本题得关键在于根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点M的坐标，结合∠MAB=30°求出a，b之间的关系．