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精英家教网一气球以V(m/s)的速度由地面上升,10分钟后由观察点P测得气球在P的正东方向S处,仰角为45°;再过10分钟后,测得气球在P的东偏北30°方向T处,其仰角为60°(如图,其中Q、R分别为气球在S、T处时的正投影).求风向和风速(风速用V表示).
分析:依题意可知即∠SPQ=
π
4
∠RPQ=
π
6
∠TPR=
π
3
,进而可知PQ=QS,RT=2QS,进而根据PR=RT•cot
π
3
求得PR,进而根据余弦定理求得QR,推断出PR2=PQ2+QR2,可知∠PQR=
π
2
,求得答案.
解答:解:10分钟后由观察点P测得气球在P的正东方向,仰角为45°的S点处,
∠SPQ=
π
4
,所以PQ=QS=600V(m).
又10分钟后测得气球在P的东偏北30°,其仰角为60°的T点处,
∠RPQ=
π
6
∠TPR=
π
3
,RT=2QS=1200V(m),
于是PR=RT•cot
π
3
=400
3
V(m)

在△PQR中由余弦定理得:QR=
PQ2+PR2-2PQ•PRcos∠QPR
=200
3
(m)

因为PR2=(400
3
V)2=(600V)2+(200
3
V)2=PQ2+QR2
,所以∠PQR=
π
2

即风向为正南风.
因为气球从S点到T点经历10分钟,即600s,
所以风速为
|QR|
600
=
3
V
3
(m/s).
答:风向为正南风,风速为
3
V
3
m/s.
点评:本题主要考查了解三角形的实际应用.解题的关键是找到PR,PQ和QR三边之间的关系.
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