Question

以椭圆x²+a²y²=a²(a＞1)的一个顶点C(0,1)为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC,试问:这样的等腰直角三角形是否存在?若存在,最多有几个?若不存在,请说明理由.

Answer 1

分析：这样的等腰直角三角形一定存在,这是可以看出来的;过C分别作倾斜角为45°、135°的直线与椭圆分别交于A、B两点,由椭圆的对称性可知,△ABC为等腰直角三角形.至于除这个三角形外还有没有,只要求过C点的互相垂直且相等的弦共有几对即可.

解：不妨设A、B两点分居于y轴的左、右两侧,设CA的斜率为k,

    则k＞0,CA所在直线的方程为y=kx+1.

    代入椭圆方程并整理得(a²k²+1)x²+2a²kx=0.

∴x=0或x=-.

∴A点的横坐标为-.

∴|CA|=.

    同理,|CB|=.

    由|CA|=|CB|得,

∴(k-1)［k²-(a²-1)k+1］=0.                               (*)

    当1＜a＜时,k=1,k²-(a²-1)k+1=0无实数解.

    当a=时,(*)的解k=1,k²-(a²-1)k+1=0的解也是k=1.

    当a＞时,(*)的解除k=1外,方程k²-(a²-1)k+1＞0有两个不等的正根,且都不等于1,故(*)有三个正根.

∴符合题意的等腰直角三角形一定存在,在1＜a≤时只有一个,当a＞时,共有3个.

∴最多有3个.