Question

（满分16分）记函数f(x)的定义域为D，若存在，使成立，则称以为坐标的点为函数图象上的不动点。

（1）若函数的图象上有两个关于原点对称的不动点，求应满足的条件；

（2）下述结论“若定义在Ｒ上的奇函数f(x)的图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明，并举出一例；若不正确，请举出一反例说明。

Answer 1

解：（1）由，  …………………………………………2分

整理得   （*）……………………………………4分

由题意知方程（*）有两个互为相反数的根，所以即………6分

，，……………………………………………………8分

故应满足且……………………………………………………10分

（2）结论正确。……………………………………………………12分

证明：为奇函数，，取，得，即（0,0）为函数的一个不动点，设函数除0以外还有不动点，则

又，故也为函数的不动点。………………………………14分

综上，若定义在R上的奇函数图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个。

例如：。……………………………………………………………………16分