Question

函数y=e^x的图象在点(ak，eak)处的切线与x轴的交点的横坐标为a_k+1，其中k∈N^*，a₁=0，则a₁+a₂+a₃=

-3

．

Answer 1

分析：先利用导数求出曲线在点（ak，eak）处的切线，求出切线与横轴交点的横坐标，得到数列递推式，看出数列是一个等差数列，从而求出所求．

解答：解：∵y=e^x，
∴y′=e^x，
∴y=e^x在点（a_k，e^a_k）处的切线方程是：
y-e^a_k=e^a_k（x-a_k），
整理，得e^a_kx-y-a_ke^a_k+e^a_k=0，
∵切线与x轴交点的横坐标为a_k+1，
∴a_k+1=a_k-1，
∴{a_n}是首项为a₁=0，公差d=-1的等差数列，
∴a₁+a₂+a₃=0-1-2=-3．
故答案为：-3．

点评：本题主要考查了切线方程以及数列和函数的综合，本题解题的关键是写出数列递推式，求出两个项之间的关系，得到数列是一个等差数列，属于中档题．