Question

【题目】已知函数， ．

（1）曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；

（2）记．

（i）讨论的单调性；

（ii）若， 为在上的最小值，求证： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）①若， ， 在单调递增；②若或，当时， ；当时， ；所以在单调递减，在， 单调递增;(ii)见解析.

【解析】试题分析：（1）先求得， ，由在处的切线平行于轴，得，从而可得实数的值；（2）（i）求出，分两种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（ii）若， 在单调递减，在单调递增． ，令，利用导数研究函数的单调性，只需证明的最大值小于零即可.

试题解析：（1）， ，

因为在处的切线平行于轴，所以，所以；

（2），

（i） ，

若，即时，则由得，当时， ；

当时， ；

所以在单调递减，在单调递增．

若，则由，得或，构造函数（），

则，由，得，

所以在单调递减，在单调递增，

，

所以（当且仅当时等号成立）．

①若， ， 在单调递增；

②若或，

当时， ；当时， ；

所以在单调递减，在， 单调递增．

（ii）若， 在单调递减，在单调递增．

，令，则，

令， ， 在单调递减，

， ，所以存在唯一的使得，

所以在单调递增，在单调递减，故当时， ，

又，所以 ，

所以当时， ．