Question

（2013•湖州二模）若直线l是曲线C：y=

1

3

x3+x+1斜率最小的切线，则直线l与圆x2+y2=

1

2

的位置关系为

相切

．

Answer 1

分析：由题意求出y′=3x²+1，进而可求出最小值即所求的直线斜率，并且可求出切点坐标，代入点斜式求出直线方程，再求出圆心到直线的距离，再进行判断直线和圆的位置关系．

解答：解：由题意得，y′=3x²+1≥1，则直线l的斜率为1，此时x=0，
故切点坐标为p（0，1），
∴直线l的方程为：y-1=x，即x-y+1=0，
则圆x2+y2=

1

2

的圆心到直线的距离d=

1

2

=

2

2

，
故此直线与此圆相切，
故答案为：相切．

点评：本题考查了导数的几何意义、切点的求法，以及直线的点斜式和直线与圆位置关系的判断方法．