Question

已知离心率为的椭圆上的点到左焦点的最长距离为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，过椭圆的左焦点任作一条与两坐标轴都不垂直的弦，若点在轴上，且使得为的一条内角平分线，则称点为该椭圆的“左特征点”，求椭圆的“左特征点”的坐标．

 

Answer 1

【答案】

（1）椭圆的方程为，其准线方程为；(2)．

【解析】

试题分析：（1）由题意知：，解得，，

故椭圆的方程为，其准线方程为       4分

(2)设为椭圆的左特征点，椭圆的左焦点为，可设直线的方程为：，

联立方程组，消去得，即，

设，则

∵被轴平分，∴，即，

，

即，

∴于是，

∵，∴，即，∴．

考点：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，三角形面积计算。

点评：中档题，不必太其椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，a,b,c,e的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）涉及新定义问题，注意理解其实质内容。