【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形,E是BC的中点.
(1)求证:AE∥平面PCD;
(2)记平面PAB与平面PCD的交线为l,求二面角C﹣l﹣B的余弦值.
【答案】
(1)证明:∵∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,E是BC的中点,
∴AD∥CE,且AD=CE,
∴四边形ADCE是平行四边形,∴AE∥CD,
∵AE平面PCD,CD平面PCD,
∴AE∥平面PCD.
(2)解:连结DE、BD,设AE∩BD于O,连结PO,
则四边形ABED是正方形,∴AE⊥BD,
∵PD=PB=2,O是BD中点,∴PO⊥BD,
则PO= = = ,
又OA= ,PA=2,∴PO2+OA2=PA2,
∴△POA是直角三角形,∴PO⊥AO,
∵BD∩AE=O,∴PO⊥平面ABCD,
以O为原点,OE为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,
则P(0,0, ),A(﹣ ),B(0, ,0),E( ),D(0,﹣ ,0),
∴ =(﹣ ), =(0, ), =(0, ), =(2 ,0,0),
设 =(x,y,z)是平面PAB的法向量,
则 ,取x=1,得 ,
设 =(a,b,c)是平面PCD的法向量,
则 ,取b=1,得 =(0,1,﹣1),
cos< >= =0,
∴二面角C﹣l﹣B的余弦值为0.
【解析】(1)推导出四边形ADCE是平行四边形,从而AE∥CD,由此能证明AE∥平面PCD.(2)连结DE、BD,设AE∩BD于O,连结PO,推导出AE⊥BD,PO⊥BD,PO⊥AO,从而PO⊥平面ABCD,以O为原点,OE为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角C﹣l﹣B的余弦值.
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行才能正确解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知曲线 (t为参数),以原点为极点,以x正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 .
(Ⅰ)写出曲线C1的普通方程,曲线C2的直角坐标方程;
(Ⅱ)若M(1,0),且曲线C1与曲线C2交于两个不同的点A,B,求 的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,E为AC与BD的交点,PA⊥平面ABCD,M为PA中点,N为BC中点.
(1)证明:直线MN∥平面PCD;
(2)若点Q为PC中点,∠BAD=120°,PA= ,AB=1,求三棱锥A﹣QCD的体积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为正三角形,E,F分别是A1C1 , B1C1上的点,且满足A1E=EC1 , B1F=3FC1 .
(1)求证:平面AEF⊥平面BB1C1C;
(2)设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长均相等,求二面角C1﹣AE﹣B的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在棱台ABC﹣FED中,△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形,平面ABC⊥平面BCDE,四边形BCDE为直角梯形,BC⊥CD,CD=1,N为CE中点, .
(1)λ为何值时,MN∥平面ABC?
(2)在(1)的条件下,求直线AN与平面BMN所成角的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设A是双曲线 的右顶点,F(c,0)是右焦点,若抛物线 的准线l上存在一点P,使∠APF=30°,则双曲线的离心率的范围是( )
A.[2,+∞)
B.(1,2]
C.(1,3]
D.[3,+∞)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某汽车的使用年数x与所支出的维修费用y的统计数据如表:
使用年数x(单位:年) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
维修总费用y(单位:万元) | 0.5 | 1.2 | 2.2 | 3.3 | 4.5 |
根据上表可得y关于x的线性回归方程 = x﹣0.69,若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修,直接报废,据此模型预测该汽车最多可使用( )
A.8年
B.9年
C.10年
D.11年
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com