Question

如图所示，已知圆，定点，为圆上一动点，点在上，点在上，且满足，，点的轨迹为曲线．

(Ⅰ) 求曲线的方程；

(Ⅱ) 若点在曲线上，线段的垂直平分线为直线，且成等差数列，求的值，并证明直线过定点；

（Ⅲ）若过定点(0，2)的直线交曲线于不同的两点、（点在点、之间），且满足，求的取值范围．

Answer 1

解析:

解：(Ⅰ)由题意知，圆的圆心为，半径．

∵．

∴ 为线段的垂直平分线，∴ ．

又∵ ，∴ ．

∴ 动点的轨迹是以点（－1，0），（1，0）为焦点且长轴长为的椭圆．                                               ……………………2分                            

∴ ．

∴ 曲线的方程为．                     ……………………3分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，曲线的轨迹为椭圆，为右焦点，其右准线方程为

设到直线的距离为．

根据椭圆的定义知,

得．

同理可得：，．       ……………………5分

∵ 成等差数列，

∴ ，代入得．      ……………………6分

下面证明直线过定点．

由，可设线段的中点为（．

∴    得．

∴ 直线的斜率，则直线的方程为：，

即．                               ……………………8分

∴ 直线过定点，定点为．           　       ……………………9分

（Ⅲ）当直线斜率存在时，设直线方程为，

代入椭圆，得．

由得．                      　       ……………………10分

设，，     ①

 ．      ②

又∵ ，

即．        ∴ ．    ③

由①②③联立得，     

即，整理得 ． ………………12分

∵ ，∴ ，

∴ ，解得且．

又∵ ，   ∴ ．                  ……………………13分

当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，即．

∴ ，即所求的取值范围是．          ……………………14分