Question

圆C的方程为（x-2）²+y²=4，圆M的方程为（x-2-5sinθ）²+（y-5cosθ）²=1（θ∈R），过圆C上任意一点P作圆M的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则

PE

•

PF

的最小值是（　　）

• A、6
• B、

  56

  9

• C、7
• D、

  65

  9

Answer 1

分析：由两圆的圆心距|CM|=5大于两圆的半径之和可得两圆相离，如图所示，则

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

，
利用 两个向量的数量积的定义求出

HE

•

HF

的值，即为所求．

解答：解：（x-2）²+y²=4的圆心C（2，0），半径等于2，圆M  （x-2-5sinθ）²+（y-5cosθ）²=1，
圆心M（2+5sinθ，5cosθ），半径等于1．∵|CM|=

(5sinθ)2+(5cosθ)2

=5＞2+1，故两圆相离．
∵

PE

•

PF

=|

PE

|•

|PF|

•cos∠EPF，要使 

PE

•

PF

 最小，需|

PE

| 和 

|PF|

 最小，且∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=

|HM|2-|ME|2

=

9-1

=2

2

，sin∠MHE=

|ME|

|MH|

=

1

3

，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=

7

9

，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2

2

×2

2

×

7

9

=

56

9

，故选 B．

点评：本题考查两圆的位置关系，两圆的切线，两个向量的数量积的定义，二倍角的余弦公式，体现了数形结合
的数学思想，判断

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

，是解题的关键，属于中档题．