Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F为棱BB₁的中点，M为线段AC₁的中点．
（1）求证：直线MF∥平面ABCD；
（2）求证：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；
（3）求平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）延长C₁F交CB的延长线于点N，由三角形的中位线的性质可得MF∥AN，从而证明MF∥平面ABCD．
（2）由A₁A⊥BD，AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC₁A₁，由DANB为平行四边形，故NA∥BD，故NA⊥平面ACC₁A₁，从而证得平面AFC₁⊥ACC₁A₁．
（3）由AC₁⊥NA，NA⊥AC，可得∠C₁AC就是平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角或补角，在Rt△C₁AC中，由tan∠CAC₁=

C1C

CA

求出平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小．

解答：证明：（1）延长C₁F交CB的延长线于点N，连接AN．因为F是BB₁的中点，
所以，F为C₁N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC₁的中点，
故MF∥AN．又MF不在平面ABCD内，AN?平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．
（2）证明：连BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ ，
可知A₁A⊥平面ABCD，又∵BD?平面ABCD，∴A₁A⊥BD．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A₁A=A，
AC，A₁A?平面ACC₁A₁，∴BD⊥平面ACC₁A₁．
在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形，
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，又因为NA?平面AFC₁，
∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁．
（3）由（2）知BD⊥ACC₁A₁，又AC₁?ACC₁A₁，
∴BD⊥AC₁，∴BD∥NA，∴AC₁⊥NA． 又由BD⊥AC可知NA⊥AC，
∴∠C₁AC就是平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角或补角．
在Rt△C₁AC中，tan∠CAC₁=

C1C

CA

=

1

3

，故∠C₁AC=30°，
∴平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°．

点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求两个平面所成的角，证明∠C₁AC就是平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角或补角，是解题的难点．