Question

将一个长宽分别是a，b（0＜b＜a）的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则

a

b

的取值范围是

（1，

5

4

）

．

Answer 1

分析：设出减去的正方形边长为x，表示出外接球的直径，对直径的平方的表示式求导，使得导函数等于0，得到最小值，根据自变量的范围求出结论．

解答：解：设减去的正方形边长为x，
其外接球直径的平方R²=（a-2x）²+（b-2x）²+x²
求导得（R²）'=18x-4（a+b）=0
∴x=

2

9

（a+b）
因为b＜a，∴x∈（0，

b

2

），
所以0＜

2

9

（a+b）＜

b

2

，
∴1＜

a

b

＜

5

4

．
故答案为：（1，

5

4

）．

点评：本题考查函数的模型的选择与应用，本题解题的关键是写出直径的平方的表示式，并且对解析式求导做出直径的最小值．