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(本小题满分16分)

对于函数y=,x∈(0,,如果a,b,c是一个三角形的三边长,那么也是一个三角形的三边长, 则称函数为“保三角形函数”.

对于函数y=,x∈,如果a,b,c是任意的非负实数,都有是一个三角形的三边长,则称函数为“恒三角形函数”.

(1)判断三个函数“=x,(定义域均为x∈(0,)”中,那些是“保三角形函数”?请说明理由;

(2)若函数,x∈是“恒三角形函数”,试求实数k的取值范围;

(3)如果函数是定义在(0,上的周期函数,且值域也为(0,,试证明:既不是“恒三角形函数”,也不是“保三角形函数”.

 

【答案】

解析:(1)对于=x,它在(0,上是增函数,不妨设a≤b≤c,则,因为a+b>c,所以=a+b>c=,故是“保三角形函数”.

对于,它在(0,上是增函数,,不妨设a≤b≤c,则,因为a+b>c,所以,故是“保三角形函数”.

对于,取a=3,b=3,c=5,显然a,b,c是一个三角形的三边长,但因为,所以不是三角形的三边长,故不是“保三角形函数”.

(2)解法1:因为=1+,所以当x=0时,=1;当x>0时,=1+

①当k=-1时,因为=1,适合题意.

②当k>-1时,因为=1+≤1+=k+2,所以.从而当k>-1时,.由1+1>k+2,得k<0,所以-1<k<0.

③当k<-1时,因为=1+≥1+=k+2,所以,从而当k>-1时,所以.由得,k>,所以<k<-1.

综上所述,所求k的取值范围是(,0).

解法2:因为

①当k=-1时,因为=1,适合题意.

②当k>-1时,可知上单调递增,在上单调递减,而=1,=k+2,且当x>1时,>1,所以此时

③当k<-1时,可知上单调递减,在上单调递增,而=1,=k+2,且当x>1时,<1,所以此时

(以下同解法1)

(3)①因为的值域是(0,,所以存在正实数a,b,c,使得=1,=1,=2,显然这样的不是一个三角形的三边长.

不是“恒三角形函数”.

②因为的最小正周期为T(T>0),令a=b=m+kT,c=n,其中k∈,且k>,则a+b>c,又显然b+c>a,c+a>b,所以a,b,c是一个三角形的三边长.

但因为=1,=2,所以不是一个三角形的三边长.

也不是“保三角形函数”.

(说明:也可以先证不是“保三角形函数”,然后根据此知也不是“恒三角形函数”.)

 

【解析】略

 

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