(本小题满分16分)
对于函数y=,x∈(0,,如果a,b,c是一个三角形的三边长,那么,,也是一个三角形的三边长, 则称函数为“保三角形函数”.
对于函数y=,x∈,,如果a,b,c是任意的非负实数,都有,,是一个三角形的三边长,则称函数为“恒三角形函数”.
(1)判断三个函数“=x,=,=(定义域均为x∈(0,)”中,那些是“保三角形函数”?请说明理由;
(2)若函数=,x∈,是“恒三角形函数”,试求实数k的取值范围;
(3)如果函数是定义在(0,上的周期函数,且值域也为(0,,试证明:既不是“恒三角形函数”,也不是“保三角形函数”.
解析:(1)对于=x,它在(0,上是增函数,不妨设a≤b≤c,则≤≤,因为a+b>c,所以+=a+b>c=,故是“保三角形函数”.
对于=,它在(0,上是增函数,,不妨设a≤b≤c,则≤≤,因为a+b>c,所以+=+=>>=,故是“保三角形函数”.
对于=,取a=3,b=3,c=5,显然a,b,c是一个三角形的三边长,但因为+=<=,所以,,不是三角形的三边长,故不是“保三角形函数”.
(2)解法1:因为=1+,所以当x=0时,=1;当x>0时,=1+.
①当k=-1时,因为=1,适合题意.
②当k>-1时,因为=1+≤1+=k+2,所以∈,.从而当k>-1时,∈,.由1+1>k+2,得k<0,所以-1<k<0.
③当k<-1时,因为=1+≥1+=k+2,所以∈,,从而当k>-1时,所以∈,.由得,k>,所以<k<-1.
综上所述,所求k的取值范围是(,0).
解法2:因为==,
①当k=-1时,因为=1,适合题意.
②当k>-1时,可知在,上单调递增,在,上单调递减,而=1,=k+2,且当x>1时,>1,所以此时∈,.
③当k<-1时,可知在,上单调递减,在,上单调递增,而=1,=k+2,且当x>1时,<1,所以此时∈,.
(以下同解法1)
(3)①因为的值域是(0,,所以存在正实数a,b,c,使得=1,=1,=2,显然这样的,,不是一个三角形的三边长.
故不是“恒三角形函数”.
②因为的最小正周期为T(T>0),令a=b=m+kT,c=n,其中k∈,且k>,则a+b>c,又显然b+c>a,c+a>b,所以a,b,c是一个三角形的三边长.
但因为===1,==2,所以,,不是一个三角形的三边长.
故也不是“保三角形函数”.
(说明:也可以先证不是“保三角形函数”,然后根据此知也不是“恒三角形函数”.)
【解析】略
科目:高中数学 来源: 题型:
(2010江苏卷)18、(本小题满分16分)
在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点T()的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、,其中m>0,。
(1)设动点P满足,求点P的轨迹;
(2)设,求点T的坐标;
(3)设,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。
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科目:高中数学 来源:2010年泰州中学高一下学期期末测试数学 题型:解答题
(本小题满分16分)
函数,(),
A=
(Ⅰ)求集合A;
(Ⅱ)如果,对任意时,恒成立,求实数的范围;
(Ⅲ)如果,当“对任意恒成立”与“在内必有解”同时成立时,求 的最大值.
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科目:高中数学 来源:2014届江苏大丰新丰中学高二上期中考试文数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分16分) 本题请注意换算单位
某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼,规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米。已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元。
(1)若该写字楼共x层,总开发费用为y万元,求函数y=f(x)的表达式;
(总开发费用=总建筑费用+购地费用)
(2)要使整幢写字楼每平方米开发费用最低,该写字楼应建为多少层?
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科目:高中数学 来源:2013届安徽省蚌埠市高二下学期期中联考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分16分)设命题:方程无实数根; 命题:函数
的值域是.如果命题为真命题,为假命题,求实数的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2010年江苏省高一第三阶段检测数学卷 题型:解答题
(本小题满分16分)
已知函数f(x)=为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
(Ⅰ)求f()的值;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标延长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.
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