(本小题满分16分)
对于函数y=,x∈(0,
,如果a,b,c是一个三角形的三边长,那么
,
,
也是一个三角形的三边长, 则称函数
为“保三角形函数”.
对于函数y=,x∈
,
,如果a,b,c是任意的非负实数,都有
,
,
是一个三角形的三边长,则称函数
为“恒三角形函数”.
(1)判断三个函数“=x,
=
,
=
(定义域均为x∈(0,
)”中,那些是“保三角形函数”?请说明理由;
(2)若函数=
,x∈
,
是“恒三角形函数”,试求实数k的取值范围;
(3)如果函数是定义在(0,
上的周期函数,且值域也为(0,
,试证明:
既不是“恒三角形函数”,也不是“保三角形函数”.
解析:(1)对于=x,它在(0,
上是增函数,不妨设a≤b≤c,则
≤
≤
,因为a+b>c,所以
+
=a+b>c=
,故
是“保三角形函数”.
对于=
,它在(0,
上是增函数,,不妨设a≤b≤c,则
≤
≤
,因为a+b>c,所以
+
=
+
=
>
>
=
,故
是“保三角形函数”.
对于=
,取a=3,b=3,c=5,显然a,b,c是一个三角形的三边长,但因为
+
=
<
=
,所以
,
,
不是三角形的三边长,故
不是“保三角形函数”.
(2)解法1:因为=1+
,所以当x=0时,
=1;当x>0时,
=1+
.
①当k=-1时,因为=1,适合题意.
②当k>-1时,因为=1+
≤1+
=k+2,所以
∈
,
.从而当k>
-1时,
∈
,
.由1+1>k+2,得k<0,所以-1<k<0.
③当k<-1时,因为=1+
≥1+
=k+2,所以
∈
,
,从而当k>-1时,所以
∈
,
.由
得,k>
,所以
<k<-1.
综上所述,所求k的取值范围是(,0).
解法2:因为=
=
,
①当k=-1时,因为=1,适合题意.
②当k>-1时,可知在
,
上单调递增,在
,
上单调递减,而
=1,
=k+2,且当x>1时,
>1,所以此时
∈
,
.
③当k<-1时,可知在
,
上单调递减,在
,
上单调递增,而
=1,
=k+2,且当x>1时,
<1,所以此时
∈
,
.
(以下同解法1)
(3)①因为的值域是(0,
,所以存在正实数a,b,c,使得
=1,
=1,
=2,显然这样的
,
,
不是一个三角形的三边长.
故不是“恒三角形函数”.
②因为的最小正周期为T(T>0),令a=b=m+kT,c=n,其中k∈
,且k>
,则a+b>c,又显然b+c>a,c+a>b,所以a,b,c是一个三角形的三边长.
但因为=
=
=1,
=
=2,所以
,
,
不是一个三角形的三边长.
故也不是“保三角形函数”.
(说明:也可以先证不是“保三角形函数”,然后根据此知
也不是“恒三角形函数”.)
【解析】略
科目:高中数学 来源: 题型:
(2010江苏卷)18、(本小题满分16分)
在平面直角坐标系
中,如图,已知椭圆
的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点T(
)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M
、
,其中m>0,
。
(1)设动点P满足,求点P的轨迹;
(2)设,求点T的坐标;
(3)设,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。
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科目:高中数学 来源:2010年泰州中学高一下学期期末测试数学 题型:解答题
(本小题满分16分)
函数,
(
),
A=
(Ⅰ)求集合A;
(Ⅱ)如果,对任意
时,
恒成立,求实数
的范围;
(Ⅲ)如果,当“
对任意
恒成立”与“
在
内必有解”同时成立时,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源:2014届江苏大丰新丰中学高二上期中考试文数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分16分) 本题请注意换算单位
某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼,规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米。已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元。
(1)若该写字楼共x层,总开发费用为y万元,求函数y=f(x)的表达式;
(总开发费用=总建筑费用+购地费用)
(2)要使整幢写字楼每平方米开发费用最低,该写字楼应建为多少层?
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科目:高中数学 来源:2013届安徽省蚌埠市高二下学期期中联考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分16分)设命题:方程
无实数根;
命题
:函数
的值域是
.如果命题
为真命题,
为假命题,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2010年江苏省高一第三阶段检测数学卷 题型:解答题
(本小题满分16分)
已知函数f(x)=为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
(Ⅰ)求f()的值;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标延长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.
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