Question

14．过点$P（-\sqrt{3}，0）$作直线l与圆O：x²+y²=1交于A、B两点，O为坐标原点，设∠AOB=θ，且$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，当△AOB的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$时，直线l的斜率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $±\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据△AOB的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，求出θ=$\frac{π}{3}$，可得圆心到直线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求出直线l的斜率．

解答 解：∵△AOB的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}×1×1×$sinθ=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴θ=$\frac{π}{3}$，
∴圆心到直线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
设直线方程为y=k（x+$\sqrt{3}$），即kx-y+$\sqrt{3}$k=0，
∴$\frac{|\sqrt{3}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：B．

点评 此题考查学生掌握直线与圆相交的性质，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．