Question

3．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A₁，C，D三点的平面记为α，BB₁与α的交点为E，F为BC的中点，G在侧棱AA₁上，
（1）证明：E为BB₁的中点，
（2）若AG：A₁G=3：1，求证：FG∥平面CDE．

Answer 1

分析 （1）延长DC与AB相交于P，则P?DC，连结A₁P交BB₁于E，由已知推导出△A₁AP∽△BQP，由此能证明E为BB₁的中点．
（2）取BE中点M，连结FM、GM，由已知推导出面GFM∥面A₁ECD，由此能证明GF∥面CDE．

解答 证明：（1）在底面ABCD中，∵四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，
延长DC与AB相交于P，则P?DC，连结A₁P交BB₁于E，
∵DC?平面α，∴P?α，
∵AD∥BC，且AD=2BC，∴BC：AD=PB：AP=1：2，
∵A₁A∥BQ
∴△A₁AP∽△BQP，
∴$\frac{BE}{A{A}_{1}}$=$\frac{BP}{AP}$=2，
∴E为BB₁的中点．
（2）取BE中点M，连结FM、GM，
∵F、M为BC、BE中点，∴MF∥EC，
∵${A}_{1}G=\frac{1}{4}{A}_{1}A，EM=\frac{1}{4}{B}_{1}B$，∴A₁G$\underset{∥}{=}$EM，∴A₁E∥GM，
∴面GFM∥面A₁ECD，
∴GF∥面CDE．

点评 本题考查线段中点的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．