Question

下列两题选做一题．
（甲）已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y²=4x的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长．
（乙）已知菱形的一对内角各为60°，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形60°角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程．

Answer 1

分析：（甲）根据椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，可求出椭圆的焦点坐标，和判断椭圆标准方程的形式，及c的值，根据a²=b²+c²，即可求得椭圆方程及其长轴的长；
（乙）由椭圆的焦点是菱形60°角的两个顶点，根据椭圆的定义可知2a=8，由图及已知条件可得b=BO=BC•sin30°=2a=BC=4，即可求出椭圆方程．

解答：（甲）解：设所求之椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1
∵2b=2，∴b=1．
由抛物线方程y²=4x可知它的焦点而（1，0），
所以点（1，0）也是椭圆的一个焦点，
于是c=1，从而a2=b2+c2=2，a=

2

，
故所求之椭圆方程为

x2

2

+y2=1，长轴的长为2

2

．

（乙）解：设以菱形内角为60⁰的一对顶点为端点的对角线所在的直线为X轴，
建立直角坐标系．
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1．
由图及已知条件可得
b=BO=BC•sin30°=2a=BC=4．
故所求之椭圆方程为

x2

16

+

y2

4

=1．

点评：此题是个基础题．考查椭圆的定义和标准方程即简单的几何性质，应用了待定系数法求椭圆方程，体现了数形结合的思想方法．