Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面是平行四边形，PA=AD=2a，AB=a，AC=

3

a．
（1）求证：平面PDC⊥平面APC；
（2）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；
（3）求二面角A-PC-B的正切值．

Answer 1

分析：（1）先证⇒∠ADC为直角，利用PA⊥平面ABCD证明 DC⊥PA，这样，DC⊥平面PAD，进而证明面PDC⊥平面APC．
（2）设AC与BD的交点为O，取AP的中点E，∠EOB就是异面直线PC与BD所成的角或补角，解三角形求此角的大小．
（3）根据AB⊥面PAC，过A作AF⊥PC，由三垂线定理可知BF⊥PC，∠AFB就是二面角A-PC-B的平面角，解三角形．
求出此角的大小．

解答：（1）证：∵AD=2a，AB=a，AC=

3

a⇒∠ADC为直角，

PA⊥平面ABCD PA?平面PAC

⇒

面PAC⊥面ABCD 面CD?面ABCD CD⊥AC 面PAC∩ABCD=AC

⇒

CD⊥面PAC CD?面PCD

⇒面PCD⊥PCA

（2）解：设AC与BD的交点为O，取AP的中点E，
连OE，BE，OB=OE=

7

2

a，BE=

2

a，
∵EO∥PC，∴∠EOB就是异面直线PC与BD所成的角或补角．
cos∠EOB=

7 4 a2+ 7 4 a2-2a2

2• 7 2 • 7 2 a2

=

3 2

7 2

=

3

7

．

（3）解：∵AB⊥面PAC，过A作AF⊥PC，连BF，
由三垂线定理可知BF⊥PC，
∴∠AFB就是二面角A-PC-B的平面角．
∵AF•PC=PA•AC，∴AF=

2a• 3 a

7 a

=

2 3

7

a，
∴tan∠AFB=

a

2 3 7 a

=

21

6

．

点评：本题考查利用面面垂直的判定定理证明面面垂直，通过转化，把空间角转化为两条相交直线成的角，解三角形求出此角的大小．