Question

已知圆经过，两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2.
（1）求圆的方程；
（2）若为圆内一点，求经过点被圆截得的弦长最短时的直线的方程.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）设所求圆的一般方程为，再令、，分别求出圆在轴、轴上的截距之和，再有已知圆两坐标轴上的四个截距之和为2.得出的关系式，由于，两点在圆上，联立方程组，解方程组求出系数，从而求得圆的方程；（2）考查圆的最短弦，实际上当直线过定点且与过此点的圆的半径垂直时，被圆截得的弦长最短，求出直线的斜率，再由直线方程的点斜式求出方程.
试题解析：（1）设圆的方程为，
令，得，则圆在轴上的截距之和为；
令，得，则圆在轴上的截距之和为；
由题意有，即，又，两点在圆上，
，解得，故所求圆的方程为.
（2）由（1）知，圆的方程为，圆心为，
当直线过定点且与过此点的圆的半径垂直时，被圆截得的弦长最短，
此时，，
于是直线的方程为，即.