Question

14．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²-3x，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．
（1）求a的值；
（2）求函数g（x）的极值；
（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂），证明$\frac{1}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1}{{x}_{1}}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，斜率为0，求出a即可．
（2）求出函数的极值点，判断函数的单调性，然后求出函数的极值．
（3）利用直线的斜率以及导函数的符号，证明即可．

解答 解：（1）依题意得：g（x）=lnx+ax²-3x，则g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-3，
函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴
g′（1）=1+2a-3=0，∴a=1…（2分）
（2）由（1）得g′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-3=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}=\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$
∵函数g（x）的定义域为：（0，+∞），令g′（x）=0，得x=$\frac{1}{2}$，或x=1．
函数g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递增，在（$\frac{1}{2}，1$）单调递减；在（1，+∞）上单调递增．故函数g（x）的极小值为g（1）=-2．…（6分）．
（3）证明：依题意得$k=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{{lnx}_{2}-{lnx}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$⇒lnx₂-kx₂=lnx₁-kx₁，
令h（x）=lnx=kx，则h′（x）=$\frac{1}{x}-k$，
由h′（x）=0得：x=$\frac{1}{k}$，当x＞$\frac{1}{k}$时，h′（x）＜0，当0＜x＜$\frac{1}{k}$时，h′（x）＞0，
h（x）在（0，$\frac{1}{k}$）单调递增，在（$\frac{1}{k}$，+∞）单调递减，又h（x₁）=h（x₂），
x₁＜$\frac{1}{k}$＜x₂，
即 $\frac{1}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1}{{x}_{1}}$…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及单调性，考查分析问题解决问题的能力．