Question

若地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，且这两点间的球面距离为

π

3

R，则北纬45°圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的余弦值为（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  3

  3

• C．

  3

  4

• D．

  2 3

  5

Answer 1

分析：如图，Q为北纬45°圈 的圆心，△QAB，OAB均为等腰三角形，设M为AB中点，可知∠OMQ为所求角．由已知，求出QM，OM再在RT△OMQ中求解即可．

解答：解：如图，A、B两点间的球面距离为以O为圆心，且过A，B的圆中弧AB的长度，
设∠AOB=α，则α•R=

π

3

R，α=

π

3

．，
又OA=OB，∴△AOB为正三角形，∴AB=R．
设Q为北纬45°圈的圆心，则由球的截面圆形状可知，OQ⊥⊙Q面，∠OAQ=45°，
且截面圆半径长QA=R•cos∠OAQ=R•cos45°=

2

2

R．
在△QAB中，QA²+QB²=AB²，得△QAB为等腰直角三角形．
设M为AB中点，连接QM，OM，则OM⊥AB，QM⊥AB，
∴∠OMQ为北纬45°圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的平面角．
在RT△OMQ中，cos∠OMQ=

QM

OM

=

1 2 AB

OA2-AM2

=

1 2 R

R2-( 1 2 R)2

=

3

3

所以所求二面角的余弦值是

3

3

故选B．

点评：本题考查面面角的大小计算，结合了球的有关性质：球的截面圆的性质，纬度的意义，球面距离的概念．需具有一定的空间想象能力、转化、计算能力．