Question

已知圆C₁的方程为x²+y²+4x-5=0，圆C₂的方程为x²+y²-4x+3=0，动圆C与圆C₁、C₂相外切．
（I）求动圆C圆心轨迹E的方程；
（II）若直线l过点（2，0）且与轨迹E交于P、Q两点．
①设点M（m，0），问：是否存在实数m，使得直线l绕点（2，0）无论怎样转动，都有

MP

•

MQ

=0成立？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由；
②过P、Q作直线x=

1

2

的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记λ=

| PA |+| QB |

| AB |

，求λ，的取值范围．

Answer 1

分析：（I）|CC₁|-|CC₂|=r₁-r₂=2，圆心C的轨迹E是以C₁、C₂为焦点的双曲线右支，由c=2，2a=2，知b²=3，由此能注出轨迹E的方程．
（II）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-2），与双曲线方程联立消y得（k²-3）x²-4k²x+3=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），解得k²＞3.

MP

•

MQ

=(x1-m)(x2-m)+y1y2=

3-(4m+5)k2

k2-3

  +m2．
①假设存在实数m，使得

MP

•

MQ

=0，故得2（1-m²）+k²（m²-4m-5）=0，对任意的k²＞3恒成立，解得m=-1．由此能够导出存在m=-1，使得

MP

•

MQ

=0．
②由a=1，c=2，知直线x=

1

2

是双曲线的右准线，所以|PA|=

1

e

|PF2| =

1

2

|PF2|，|QB|=

1

2

|QF₂|，λ=

|PQ|

2|AB|

= 

1+k2 |x2-x1|

2|y2-y1|

=

1

2

1+  1 k2

，由k²＞3，知

1

2

＜λ＜

3

3

．当斜率不存在时，λ=

1

2

．由此能求出λ的取值范围．

解答：解：（I）圆C₁的圆心C₁（-2，0），半径r1=

1

2

16+20

=3，
圆C₂的圆心C₂（2，0），半径r2=

1

2

16-12

=1，
|CC₁|-|CC₂|=r₁-r₂=2，
圆心C的轨迹E是以C₁、C₂为焦点的双曲线右支，由c=2，2a=2，
∴b²=3，
故轨迹E的方程为x2-

y2

3

=1(x＞1)．…（4分）
（II）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-2），
与双曲线方程联立消y得
（k²-3）x²-4k²x+3=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴

k2-3＞0 △＞0 x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0 x1x2= 4k2+3 k2-3 ＞0

，
解得k²＞3．
∵

MP

•

MQ

=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=

(k2+1)(4k2+3)

k2-3

-

4k2(2k2+m)

k2-3

+m2+4k²
=

3-(4m+5)k2

k2-3

  +m2．
①假设存在实数m，使得

MP

•

MQ

=0，故得
2（1-m²）+k²（m²-4m-5）=0，
对任意的k²＞3恒成立，
∴

1-m2=0 m2-4m-5=0

，
解得m=-1．
∴当m=-1时，

MP

•

MQ

=0．
当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）及M（1，0）知结论也成立．
综上所述，存在m=-1，使得

MP

•

MQ

=0．
②∵a=1，c=2，
∴直线x=

1

2

是双曲线的右准线，
∴|PA|=

1

e

|PF2| =

1

2

|PF2|，|QB|=

1

2

|QF₂|，
∴λ=

|PQ|

2|AB|

= 

1+k2 |x2-x1|

2|y2-y1|

=

1+k2 |x2-x1|

2|k(x2-x1)|

=

1+k2

2|k|

=

1

2

1+  1 k2

，
∵k²＞3，
∴0＜

1

k2

＜

1

3

，
∴

1

2

＜λ＜

3

3

．
当斜率不存在时，|PQ|=|AB|，此时λ=

1

2

．
故λ∈[

1

2

，

3

3

]．

点评：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．