Question

一个四棱锥的直观图和三视图如图所示：

   （1）设PB的中点为M，求证CM是否平行于平面PDA？

   （2）在BC边上是否存在点Q，使得二面角A—PD—Q为120°？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）CM平行于平面PDA（2）存在点Q为BC的中点，使二面角A—PD—Q为

解析:

（1）取PA的中点N，连MN、DN，易证MN不平行于CD，…2分

，

//面PDA。        …………4分

   （2）分别以BC、BA、BP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，B为原点，则A（0，2，0），P（0，0，1），D（1，1，0）      ………5分

    假设BC边上存在点Q，使得二面角A—PD—Q为120°，设Q（x，0，0），，

    平面PDQ的法向量为，

    则由，

    及，得

        …………8分

  

 同理设平面PDA的法向量为…………10分

   

  

 解得

  

 

 

  故存在点Q为BC的中点，使二面角A—PD—Q为 …………12分