Question

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BC⊥CF，AD=，EF=2，BE=3，CF=4。
(Ⅰ)求证：EF⊥平面DCE；
(Ⅱ)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，∴EC=2， ∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2， ∴EF⊥CE， 由已知条件知，DC⊥平面EFCB，∴DC⊥EF， 又DC与EC相交于C， ∴EF⊥平面DCE。
（Ⅱ）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连结AH， 由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC， AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC， 从而AH⊥EF， 所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角， 在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4，EC=， ∴∠CEF=60°，由CE∥BH，得∠BHE=60°， 又在Rt△BHE中，BE=3， ∴， 由二面角A-EF-C的平面角∠AHB=60°， 在Rt△AHB中，解得：， 所以，当时，二面角A-EF-C的大小为60°。