Question

（2013•中山一模）已知函数f(x)=

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x3-ax+b，其中实数a，b是常数．
（Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（1）≥0”发生的概率；
（Ⅱ）若f（x）是R上的奇函数，g（a）是f（x）在区间[-1，1]上的最小值，求当|a|≥1时g（a）的解析式；
（Ⅲ）记y=f（x）的导函数为f′（x），则当a=1时，对任意x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，2]使得f（x₁）=f′（x₂），求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由已知可得基本事件的总数为9个；再分类讨论得出事件A包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出．
（II）利用奇函数的性质f（0）=0即可得出b=0；利用导数即可得出函数f（x）的单调性，从而得出其最小值g（a）．
（III）利用导数和二次函数的单调性即可求出函数f（x）及f^′（x）在给出的区间上的值域，而对任意x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，2]使得f（x₁）=f'（x₂）?f（x）的值域⊆f^′（x）的值域，解出即可．

解答：解：（Ⅰ）由已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，可知：共有3×3=9个函数，即基本事件的总数为9个．
若f（1）≥0，得到

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-a+b≥0，即a≤b+

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：①当a=0时，b=0，1，2都满足；②当a=1时，b=1，2满足；③当a=2时，b=2满足．
故满足：“f（1）≥0”的事件A包括6个基本事件，故P（A）=

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=

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．
（II）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0=b，
∴f(x)=

1

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x3-ax，f^′（x）=x²-a．
①当a≤-1时，f^′（x）≥0，∴函数f（x）在区间[-1，1]上单调递增，∴g（a）=f（-1）=-

1

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+a；
②当a≥1时，∵x∈[-1，1]，∴f^′（x）=x²-a≤0，
∴函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，∴g（a）=f（1）=

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3

-a．
（Ⅲ）当a=1时，f(x)=

1

3

x3-x+b，∴f^′（x）=x²-1，当x∈（0，1]时，f^′（x）＜0；当x∈（1，2]时，f^′（x）＞0．
∴f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，2）上单调递增，即f(x)min=f(1)=-

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3

+b．
又∵f（0）=b，f(2)=

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+b＞f(0)，当x∈[0，2]时，f(x)∈[-

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3

+b，

2

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+b]．
而f^′（x）=x²-1在[0，2]上单调递增，f'（x）∈[-1，3]，
且 对任意x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，2]使得f（x₁）=f'（x₂），
∴f（x）的值域⊆f^′（x）的值域，即[-

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+b，

2

3

+b]⊆[-1，3]．
∴-

2

3

+b≥-1且

2

3

+b≤3，解得-

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≤b≤

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3

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质，古典概型的概率计算公式，即等价转化方法、分类讨论方法．