Question

已知各项为正数的等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m、a_n使得，则+的最小值为________．

Answer 1

分析：由题意可得 a₆q=a₆+2，解得q=2．由 可得 m+n=5，再由m、n是正整数，求得 +的最小值．
解答：设等比数列的公比为q，则由 a₇=a₆+2a₅ ，可得到 a₆q=a₆+2，
由于 a_n＞0，所以上式两边除以a₆ 得到q=1+，解得q=2或q=-1．
因为各项全为正，所以q=2．
由于存在两项 a_m，a_n 使得 ，所以，a_m•a_n=8 ，
即 •=8 ，∴q^m+n-2=8，∴m+n=5．
当 m=1，n=4时，+=2； 当 m=2，n=3时，+=；当 m=3，n=2时，+=；
当 m=4，n=1时，+=．
故当 m=2，n=3时，+取得最小值为 ，
故答案为．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于中档题．