Question

8．正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，则AD₁与平面BB₁D₁所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• B． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求AD₁与面BB₁D₁D所成角的正弦值．

解答 解：以D为原点，DA，DC，DD₁分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz．
设AB=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），
B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，2），
A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2）．
设AD₁与面BB₁D₁D所成角的大小为θ，$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，2），
设平面BB₁D₁D的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，2），
则x+y=0，z=0．
令x=1，则y=-1，所以$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{A{D}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
所以AD₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故选：A．

点评 本题主要考查直线和平面所成角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决空间角的常用方法．