Question

17、6个人坐在一排10个座位上，问
（1）空位不相邻的坐法有多少种？
（2）4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？
（3）4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？

Answer 1

分析：（1）空位不相邻相当于将4个空位安插在6个人隔开的7个间隔中，有C₇⁴种插法，得到空位不相邻的坐法有几种．
（2）将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个间隔里插有A₇²种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A₆⁶A₇²种．
（3）4个空位至少有2个相邻的情况有三类：①4个空位各不相邻②4个空位2个相邻，另有2个不相邻③4个空位分两组，每组都有2个相邻．根据分类计数原理得到结果．

解答：解：6个人排有A₆⁶种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位．
（1）空位不相邻相当于将4个空位安插在上述个“间隔”中，有C₇⁴=35种插法，
故空位不相邻的坐法有A₆⁶C₇⁴=25200种．
（2）将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插
有A₇²种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A₆⁶A₇²=30240种．
（3）4个空位至少有2个相邻的情况有三类：
①4个空位各不相邻有C₇⁴种坐法；
②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有C₇¹C₆²种坐法；
③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有C₇²种坐法．
综合上述，应有A₆⁶（C₇⁴+C₇¹C₆²+C₇²）=115920种坐法．

点评：本题考查插空法和计数原理，分类计数问题是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果．