Question

18．抛物线x²=y（-2≤x≤2）绕轴旋转180°形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的上底面恰好与旋转体的开口面平齐，下底面的四个顶点落在曲面上，则此正方体的外接球的表面积为（　　）

• A． 4π
• B． 12π
• C． 16π
• D． 48π

Answer 1

分析 由题意画出过正方体的两条相对侧棱的截面图，设出正方体的棱长，然后利用A点的纵坐标相等列式求解a的值，可得正方体的棱长是2，求出正方体的外接球的半径，即可求出正方体的外接球的表面积．

解答 解：作过正方体的两条相对侧棱的截面图如图，
设正方体AC₁的棱长AA₁=a，则底面对角线AC=$\sqrt{2}$a，
所以A点的横坐标等于$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，代入抛物线y=x²得A点纵坐标为$\frac{{a}^{2}}{2}$．
又由题意可知A点纵坐标等于4-a．
所以$\frac{{a}^{2}}{2}$=4-a，解得：a=2．
所以正方体的棱长是2，
所以正方体的外接球的半径为$\sqrt{3}$，
所以正方体的外接球的表面积为4π•3=12π．
故选：B．

点评 本题考查了抛物线的应用，考查了数形结合的解题思想和数学转化思想，能够正确作出该题的截面图是解答该题的关键，属中档题．