Question

如图，已知F₁，F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，则椭圆C的离心率为

 

．

Answer 1

分析：本题考察的知识点是平面向量的数量积的运算，及椭圆的简单性质，由F₁、F₂是椭圆 C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，连接OQ，F₁P后，我们易根据平面几何的知识，根据切线的性质及中位线的性质得到PF₂⊥PF₁，并由此得到椭圆C的离心率．

解答：解：连接OQ，F₁P如下图所示：
则由切线的性质，则OQ⊥PF₂，
又由点Q为线段PF₂的中点，O为F₁F₂的中点
∴OQ∥F₁P
∴PF₂⊥PF₁，
故|PF₂|=2a-2b，
且|PF₁|=2b，|F₁F₂|=2c，
则|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²
得4c²=4b²+4（a²-2ab+b²）
解得：b=

2

3

a
则c=

5

3

a
故椭圆的离心率为：

5

3

故答案为：

5

3

．

点评：本题涉及等量关系转为不等关系，在与所求量有关的参量上作文章是实现转化的关键，还有离心率的求解问题，关键是根据题设条件获得关于a，b，c的关系式，最后化归为a，c（或e）的关系式，利用方程求解．