Question

若抛物线y=ax²-1恒有关于直线x+y=0对称的相异两点A，B，则a的取值范围是

(

3

4

，+∞)

．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀）．由题意可设直线AB的方程为：y=x+m，与抛物线方程联立，可得△＞0及其根与系数的关系，进而可得中点坐标表示m，代入△＞0即可．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀）．
由题意可设直线AB的方程为：y=x+m，联立

y=x+m y=ax2-1

，化为ax²-x-m-1=0．
由题意可得△＞0，即1+4a（m+1）＞0．（*）
∴x1+x2=

1

a

，∴x0=

x1+x2

2

=

1

2a

．
∵点M在直线x+y=0上，∴y0=-

1

2a

．
又y₀=x₀+m，
∴m=-

1

2a

-

1

2a

=-

1

a

．代入（*）可得：1+4a(-

1

a

+1)＞0，化为4a＞3，解得a＞

3

4

．
故答案为(

3

4

，+∞)．

点评：熟练掌握抛物线上关于已知直线存在对称点问转化为判别式及根与系数的关系、中点坐标公式、斜率乘积等于-1等是解题的关键．